Question

等比數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₆=11，a₃•a₄=

32

9

，且公比q∈（0，1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若該數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=21，求n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解方程即可．

解答： 解：（1）在等比數(shù)列中，a₃•a₄=a₁•a₆=

32

9

，∵a₁+a₆=11，
∴解得a₁=

1

3

，a₆=

32

3

，或a₆=

1

3

，a₁=

32

3

，
∵公比q∈（0，1）．
∴數(shù)列為遞減數(shù)列，則a₁=

32

3

，a₆=

1

3

，
即a₆=

1

3

=

32

3

•q⁵，
則q⁵=

1

32

，解得q=

1

2

，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

32

3

•(

1

2

)n-1．
（2）等比數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=

32 3 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=

64

3

-

64

3

•（

1

2

）ⁿ=21，
即（

1

2

）ⁿ=

1

64

，解得n=6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及等比數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算，要求熟練掌握等比數(shù)列的相應(yīng)公式．