Question

若x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈[-1，1]恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由韋達(dá)定理可得

x1+x2=m x1x2=-2

，從而可得|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

；從而可得|x₁-x₂|_max=3，從而化恒成立問(wèn)題為a²-5a-3≥3，從而解得．

解答： 解：∵x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴

x1+x2=m x1x2=-2

；
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

；
∴當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，|x₁-x₂|_max=3；
故不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈[-1，1]恒成立可化為
a²-5a-3≥3；
解得a≥6或a≤-1．
故答案為：a≥6或a≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及恒成立問(wèn)題化為函數(shù)的最值問(wèn)題處理的應(yīng)用，屬于中檔題．