Question

在等比數(shù)列﹛a_n﹜中，對(duì)任意的n∈N⁺，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+…+a_n²為（　�。�

• A、

  1

  3

  （4ⁿ-1）
• B、

  1

  3

  （2ⁿ-1）
• C、（2ⁿ-1）²
• D、4ⁿ-1

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：在等比數(shù)列﹛a_n﹜中，對(duì)任意的n∈N⁺，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，可知：當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1，
a_n=2^n-1．當(dāng)n=1時(shí)上式也適合．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：∵在等比數(shù)列﹛a_n﹜中，對(duì)任意的n∈N⁺，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1，
∴a_n=2^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-1=1，上式也適合．
∴等比數(shù)列﹛a_n﹜的首項(xiàng)為1，公比q=2．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

a 2 n

a 2 n-1

=

(2n-1)2

(2n-2)2

=4．
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=

4n-1

4-1

=

1

3

(4n-1)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的意義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力一ujsnl，屬于基礎(chǔ)題．