Question

1．若函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足xf′（x）＞-f（-x），則不等式xf（x）＜（1-2x）f（1-2x）的解集是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{3}$）
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）在R遞增，得到g（x）＜g（1-2x），問題轉(zhuǎn)化為x＜1-2x，解出即可．

解答 解：函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，
故f（-x）=f（x），
故對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足xf′（x）＞-f（-x），
即xf′（x）+f（x）＞0，
令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x）＞0，
∴g（x）在R遞增，
若不等式xf（x）＜（1-2x）f（1-2x），
則g（x）＜g（1-2x），則x＜1-2x，解得：x＜$\frac{1}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．