Question

18．已知f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+{a}^{2}-2}{{2}^{x}+1}$．
（1）當a=1時，求f（x）的反函數(shù)；
（2）若f（x）在定義域上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出x關于y的函數(shù)，然后將x，y互換位置得到反函數(shù)，注意自變量的取值范圍；
（2）f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+{a}^{2}-2}{{2}^{x}+1}$=a+$\frac{{a}^{2}-a-2}{{2}^{x}+1}$，由復合函數(shù)的單調性可知若f（x）在定義域上單調遞增，則a²-a-2＜0．

解答 解：（1）a=1時，y=f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴2^x=$\frac{2}{1-y}-1$，x=log₂（$\frac{2}{1-y}-1$），
∴f^-1（x）=log₂（$\frac{2}{1-x}-1$），（-1＜x＜1）．
（2）f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+{a}^{2}-2}{{2}^{x}+1}$=a+$\frac{{a}^{2}-a-2}{{2}^{x}+1}$，
∵f（x）在定義域上單調遞增，
∴a²-a-2＜0，
解得-1＜a＜2．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-1，2）．

點評 本題考查了反函數(shù)的求法及復合函數(shù)的單調性，注意定義域的范圍．