Question

9．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，現(xiàn)將△ABD沿BD折起后使AC=$\sqrt{3}$，在四面體ABCD四個面中兩兩構(gòu)成直二面角的個數(shù)為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出AD⊥CD，BD⊥CD，從而CD⊥平面ABD，進而得到平面ABD⊥平面BDC，平面ABD⊥平面ADC；再由勾股定理得AB⊥AC，AB⊥AD，從而AD⊥平面ABC，進而得到平面ABD⊥平面ABC．由此能求出在四面體ABCD四個面中兩兩構(gòu)成直二面角的個數(shù)．

解答 解：如圖，∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，
現(xiàn)將△ABD沿BD折起后使AC=$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴BD²+CD²=BC²，AD²+CD²=AC²，
∴AD⊥CD，BD⊥CD，又AD∩BD=D，
∴CD⊥平面ABD，
∵CD?平面BDC，CD?平面ADC，
∴平面ABD⊥平面BDC，平面ABD⊥平面ADC，
∵AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵AB⊥AD，AD∩AC=A，∴AD⊥平面ABC，
∵AD?平面ABD，AD?平面ADC，
∴平面ABD⊥平面ABC，平面ADC⊥平面ABC．
∴在四面體ABCD四個面中兩兩構(gòu)成直二面角的個數(shù)為4個．
故選：C．

點評 本題考查在四面體的四個面中兩兩構(gòu)成直二面角的個數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意面面垂直的判定定理的合理運用．