Question

12．如圖三角形數(shù)陣滿足：
（1）第n行首尾兩數(shù)均為n；
（2）圖中的遞推關(guān)系類(lèi)似于楊輝三角．
則第n（n≥2）行第2個(gè)數(shù)是$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$，第n行的和是2ⁿ+2^n-1-2．

Answer 1

分析 計(jì)算前5行的第二個(gè)數(shù)字與前5行的數(shù)字和，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)第n行的第2個(gè)數(shù)為a_n，由圖可知，a₂=2=1+1，a₃=4=1+2+1，a₄=7=1+2+3+1，a₅=11=1+2+3+4+1…
歸納可得a_n=1+2+3+4+…+（n-1）+1=$\frac{n（n-1）}{2}+1$=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．
設(shè)第n行的和為S_n，則S₂=4=2²，S₃=10=2S₂+2=2³+2，S₄=22=2S₃+2=2⁴+2²+2．S₅=46=2S₄+2=2⁵+2³+2²+2…
歸納可得S_n=2ⁿ+2^n-2+2^n-3+…+2³+2²+2=2ⁿ+$\frac{2（1-{2}^{n-2}）}{1-2}$=2ⁿ+2^n-1-2．
故答案為$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$，2ⁿ+2^n-1-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理，等差數(shù)列，等比數(shù)列求和，屬于基礎(chǔ)題．