Question

3．如圖所示，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，直線BMN交AD的延長線于點C，BM=MN=NC，AB=2，求CD的長和⊙O的半徑．

Answer 1

分析 由切線長定理知AB²=BM•BM=2BM²，從而得到BC，AC，由切割線定理，知：CD•CA=CN•CM，從而得到CD，由此能求出⊙O的半徑．

解答 解：∵AD是⊙O的直徑，AB是⊙O切線，A為切點，
⊙O上有兩點M、N，直線BMN交AD的延長線于點C，BM=MN=NC，AB=2，
∴AB²=BM•BM=2BM²，
即4=2BM²，解得BM=MN=CN=$\sqrt{2}$，∴BC=3$\sqrt{2}$
∴AC=$\sqrt{18-4}$=$\sqrt{14}$，
由切割線定理，知：CD•CA=CN•CM，
即CD$\sqrt{14}$=$\sqrt{2}•2\sqrt{2}$，解得CD=$\frac{4\sqrt{14}}{14}$，
∴⊙O的半徑r=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{14}$-$\frac{4\sqrt{14}}{14}$）=$\frac{5\sqrt{14}}{14}$．

點評 本題考查圓的半徑的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意切線長定理和切割線定理的合理運用．