Question

4．閱讀以下求1+2+3+…+n的值的過程：
因為（n+1）²-n²=2n+1
n²-（n-1）²=2（n-1）+1
…
2²-1²=2×1+1
以上各式相加得（n+1）²-1=2×（1+2+3+…+n）+n
所以1+2+3+…+n=$\frac{{n}^{2}+2n-n}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$．
類比上述過程，求1²+2²+3²+…+n²的值．

Answer 1

分析 類比1+2+3+…+n的計算公式的推導過程，可得n³-（n-1）³=3n²-3n+1，進而疊加后可得1²+2²+3²+…+n²的值．

解答 解：∵2³-1³=3•2²-3•2+1，
3³-2³=3•3²-3•3+1，…，
n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
把這n-1個等式相加得n³-1=3•（2²+3²+…+n²）-3•（2+3+…+n）+（n-1），
由此得n³-1=3•（1²+2²+3²+…+n²）-3•（1+2+3+…+n）+（n-1），
即1²+2²+…+n²=$\frac{1}{3}$[n³-1+$\frac{3}{2}$n（n+1）-（n-1）]．

點評 本題考查的知識點是類比推理，其中已知中的推理過程，類比得到n³-（n-1）³=3n²-3n+1，進而疊加是解答的關(guān)鍵．