Question

19．已知f′（x）是奇函數(shù)f（x）的導數(shù)，當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，f（-1）=0，求f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用導數(shù)得到，g（x）在（0，+∞）是減函數(shù)，再根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，得到函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，根據(jù)f（-1）=0，解得f（x）＞0的解集．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，
∴x＞0時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴g（x）為偶函數(shù)，
∴g（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，
∵f（-1）=0，
∴g（1）=g（-1）=$\frac{f（-1）}{-x}$=0，
當0＜x＜1，
g（x）＞g（1）=0，即f（x）＞0，
當x＞1時，g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜0，
∴當x＜-1時，g（x）＜0，即f（x）＞0，
故不等式f（x）＞0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）

點評 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應用．在判斷函數(shù)的單調(diào)性時，�？衫�用導函數(shù)來判斷．