Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}中 a₁=2，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)S_n=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{i}$是否存在實數(shù)c，使$\frac{{S}_{n+1}-c}{{S}_{n}-c}$＞2對于n∈N^*恒成立．若存在，求出實數(shù)c的取值范圍，不存在，說明理由．
（3）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{16{n}^{2}{-a}_{n}^{2}}$．若數(shù)列{b_n}前n項和為T_n，求證：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n（n∈N^*）變形可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，進而可得結(jié)論；
（2）通過$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$可知S_n=4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），假設(shè)存在實數(shù)c滿足條件，對$\frac{{S}_{n+1}-c}{{S}_{n}-c}$＞2中的分母的正負進行討論即可；
（3）通過a_n=$\frac{n}{{2}^{n-2}}$=$\frac{4n}{{2}^{n}}$，裂項可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$），累計即可．

解答 （1）解：∵a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，
又∵a₁=2，即$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$=2，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項a_n=$\frac{n}{{2}^{n-2}}$；
（2）結(jié)論：存在實數(shù)c∈[2，4），使$\frac{{S}_{n+1}-c}{{S}_{n}-c}$＞2對于n∈N^*恒成立．
理由如下：
∵$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴S_n=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{i}$=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
假設(shè)存在實數(shù)c，使$\frac{{S}_{n+1}-c}{{S}_{n}-c}$＞2對于n∈N^*恒成立，則
①當(dāng)S_n-c＞0即c＜S_n＜4時，S_n+1-c＞2S_n-2c，
∴c＞2S_n-S_n+1=2•4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-4（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）=4-$\frac{6}{{2}^{n}}$≥1，
∴實數(shù)c的取值范圍為1≤c＜4；
②當(dāng)S_n-c＜0即c＞S_n≥2時，S_n+1-c＜2S_n-2c，
∴c＜2S_n-S_n+1=2•4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-4（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）=4-$\frac{6}{{2}^{n}}$＜4，
∴實數(shù)c的取值范圍為2≤c＜4；
綜上所述：存在實數(shù)c∈[2，4），使$\frac{{S}_{n+1}-c}{{S}_{n}-c}$＞2對于n∈N^*恒成立；
（3）證明：∵a_n=$\frac{n}{{2}^{n-2}}$=$\frac{4n}{{2}^{n}}$，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{16{n}^{2}{-a}_{n}^{2}}$=$\frac{\frac{16{n}^{2}}{{4}^{n}}}{16{n}^{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}$=$\frac{1}{{4}^{n}-1}$=$\frac{1}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）
＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．