Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x-1，x＞0\\ 2-x，x＜0\end{array}\right.$．
（1）求f（g（2））和g（f（2））的值；
（2）求g（x）的值域；
（3）求f（g（x））的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分段函數(shù)的表達式即可求f（g（2））和g（f（2））的值；
（2）分別求出x＞0和x＜0的函數(shù)值的取值范圍即可求g（x）的值域；
（3）根據(jù)復合函數(shù)的關系式，討論x＞0和x＜0時對應的對應關系即可求f（g（x））的表達式．

解答 解：（1）由分段函數(shù)得g（2）=2-1=1，f（2）=2²-1=3，
則f（g（2））=f（1）=1-1=0，g（f（2））=g（3）=3-1=2；
（2）當x＞0時，g（x）=x-1＞-1，
當x＜0時，g（x）=2-x＞2，
綜上g（x）＞-1，即g（x）的值域為（-1，+∞）；
（3）當x＞0時，g（x）=x-1＞，則f（g（x））=（x-1）²-1=x²-2x，
當x＜0時，g（x）=2-x，f（g（x））=（2-x）²-1=x²-4x-3．
即f（g（x））=$\left\{\begin{array}{l}{x^2-2x，}&{x＞0}\\{{x}^{2}-4x+3，}&{x＜0}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應用，利用分段函數(shù)的表達式進行求值和求解析式，注意變量的取值范圍．