Question

18．如圖，在底面半徑和高均為4的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點，若過直徑CD與點E的平面與圓錐側面的交線是以E為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點P的距離為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圓錐的性質(zhì)，建立坐標系，確定拋物線的方程，計算出EF的長度，結合直角三角形的關系進行求解即可．

解答 解：如圖所示，過點E作EH⊥AB，垂足為H．
∵E是母線PB的中點，圓錐的底面半徑和高均為4，
∴OH=EH=2．
∴OE=2$\sqrt{2}$．
在平面CED內(nèi)建立直角坐標系如圖．
設拋物線的方程為y²=2px
（p＞0），F(xiàn)為拋物線的焦點．
C（2$\sqrt{2}$，4），
∴16=2p•（2$\sqrt{2}$），
解得p=2$\sqrt{2}$．
F（$\sqrt{2}$，0）．
即OF=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{2}$，
∵PB=4$\sqrt{2}$，PE=2$\sqrt{2}$，
∴該拋物線的焦點到圓錐頂點P的距離為$\sqrt{E{F}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{2+8}$=$\sqrt{10}$，
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了圓錐的性質(zhì)、拋物線的標準方程，考查了轉(zhuǎn)變角度解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，建立平面坐標系，求出拋物線的方程以及焦點坐標是解決本題的關鍵，屬于難題