Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=2^x+$\frac{a}{2^x}$-1（a為實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，判斷函數(shù)y=f（x）為奇偶性；
（2）對任意x∈R時(shí)f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇偶性的定義直接判斷即可．
（2）分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題求解．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2^x+$\frac{a}{2^x}$-1（a為實(shí)數(shù)）．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2^x+2-^x-1，
∵f（-x）=2-^x+2^x-1=f（x），
∴y=f（x）為偶函數(shù)．
（2）由題意：函數(shù)f（x）=2^x+$\frac{a}{2^x}$-1（a為實(shí)數(shù)）．
任意x∈R時(shí)f（x）≥0，即2^x+$\frac{a}{2x}$-1≥0
?a≥2^x-（2^x）²，
令t=2^x＞0，則：a≥-t²+t（t＞0）．
對任意x∈R時(shí)f（x）≥0恒成立，只要當(dāng)t＞0時(shí)，a≥（-t²+t）_max．
根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：
可得：當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，可得（-t²+t）_max=$\frac{1}{4}$，
∴a≥$\frac{1}{4}$．
故得a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷和分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題解決恒成立問題．屬于中檔題．