Question

7．已知實數(shù)a，b滿足2＜a＜b＜3，下列不等關(guān)系中一定成立的是（　�。�

• A． a³+15b＞b³+15a
• B． a³+15b＜b³+15a
• C． b•2^a＞a•2^b
• D． b•2^a＜a•2^b

Answer 1

分析 分別構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³-15x，g（x）=$\frac{{2}^{x}}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，由單調(diào)性即可求得選項．

解答 解：設(shè)f（x）=x³-15x，則f′（x）=$3{x}^{2}-15=3（x+\sqrt{5}）（x-\sqrt{5}）$．
當x∈（2，$\sqrt{5}$）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當x∈（$\sqrt{5}，3$）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
若2＜a＜b＜$\sqrt{5}$，則f（a）＞f（b），即a³+15b＞b³+15a；若$\sqrt{5}$＜a＜b＜3，則f（a）＜f（b），即a³+15b＜b³+15a．
∴A，B均不一定成立．
設(shè)g（x）=$\frac{{2}^{x}}{x}$，則g′（x）=$\frac{{2}^{x}•x•ln2-{2}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{{2}^{x}（xln2-1）}{{x}^{2}}$．
令g′（x）=0，得x=log₂e∈（1，2）．
∴當x∈（2，3）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
∵2＜a＜b＜3，
$\frac{{2}^}$＞$\frac{{2}^{a}}{a}$，即b•2^a＜a•2^b．
故選：D．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．