Question

10．已知f（x）=3x²+2ax+b，若對于任意的x∈[-1，0]，關于x的不等式f（x）≤0恒成立，則$f（{-\frac{1}{2}}）$的最大值為-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結合二次函數(shù)f（x）=3x²+2ax+b的圖象得出不等式組，畫出該不等式所表示的平面區(qū)域，設z=f（-$\frac{1}{2}$）=-a+b+$\frac{3}{4}$，根據(jù)線性規(guī)劃即可求出最大值

解答 解：∵f（x）=3x²+2ax+b，根據(jù)已知條件知：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-2a+b+3≤0}\\{f（0）=b≤0}\end{array}\right.$；
該不等式表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，
∵f（-$\frac{1}{2}$）=-a+b+$\frac{3}{4}$，
設z=f（-$\frac{1}{2}$）=-a+b+$\frac{3}{4}$，
畫出目標函數(shù)b=a-$\frac{3}{4}$，平移目標函數(shù)，
當經(jīng)過點A（$\frac{3}{2}$，0）時，z=f（-$\frac{1}{2}$）=-a+b+$\frac{3}{4}$有最大值，
即為z=f（-$\frac{1}{2}$）=-a+b+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{2}$+0+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
故答案為：-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了線性規(guī)劃的應用問題和直線方程以及數(shù)形結的應用問題，是綜合性題目．