Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在區(qū)間（t，3）上總存在極值？

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，令它大于0，解得增區(qū)間，令小于0，解得減區(qū)間；
（2）由條件得f′（2）=1．得到a=-2，求出g（x）的表達式，求出導數(shù)，根據(jù)條件得到

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，解出不等式即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=alnx-ax-3，f′（x）=

a

x

-a（x＞0）
（1）當a=1時，f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，令f′（x）＞0，則0＜x＜1；
f′（x）＜0，則x＞1．故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）由于函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
則f′（2）=1．即

a

2

-a=1，
所以a=-2，f′(x)=

-2

x

+2．
則g(x)=x3+x2[

m

2

+2-

2

x

]=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
g'（x）=3x²+（4+m）x-2，
因為任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區(qū)間（t，3）上總存在極值，
所以只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，
解得-

37

3

＜m＜-9．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，同時考查構(gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)求解范圍，屬于中檔題．