Question

設函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（1）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當a=

1

3

時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）在（2）的條件下，設函數(shù)g（x）=x²-2bx-

5

12

，若對于?x₁∈[1，2]，?x₁∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率和切點坐標，即可得到切線方程；
（2）求出導數(shù)，令導數(shù)大于0，得到增區(qū)間，令小于0，得到減區(qū)間，注意定義域；
（3）對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立?g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值．討論b＜0，0≤b≤1，b＞1，g（x）的最小值，檢驗它與f（x）的最小值之間的關系，即可得到b的范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

     　                        
（1）當a=1時，f（x）=lnx-x-1，∴f（1）=-2，
f′（x）=

1

x

-1，∴f′（1）=0
∴f（x）在x=1處的切線方程為y=-2．
（2）f′（x）=-

x2-3x+2

3x2

=-

(x-1)(x-2)

3x2

．
∴當0＜x＜1，或x＞2時，f′（x）＜0；                         
當1＜x＜2時，f′（x）＞0．
當a=

1

3

時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，2）；單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（2，+∞）．
（3）當a=

1

3

時，由（2）可知函數(shù)f（x）在（1，2）上為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=-

2

3

         
若對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立
?g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值（*）                    
又g（x）=x²-2bx-

5

12

=（x-b）²-b²-

5

12

，x∈[0，1]，
①當b＜0時，g（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
[g（x）]_min=g（0）=-

5

12

＞-

2

3

與（*）矛盾                 
②當0≤b≤1時，[g（x）]_min=g（b）=-b²-

5

12

，
由-b²-

5

12

≤-

2

3

及0≤b≤1，得，

1

2

≤b≤1；                                       
③當b＞1時，g（x）在[0，1]上為減函數(shù)，
[g（x）]_min=g（1）=

7

12

-2b≤-

2

3

及b＞1得b＞1．
綜上，b的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、求極值和最值，考查分類討論的思想方法，考查任意的總存在的不等式成立的類型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于中檔題．