Question

11．設α、β都是銳角，且cosα=$\frac{1}{3}$，sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，則cosβ等于（　�。�

• A． $\frac{8\sqrt{2}-3}{15}$
• B． $\frac{8\sqrt{2}+3}{15}$
• C． $\frac{8\sqrt{2}-3}{15}$或$\frac{8\sqrt{2}+3}{15}$
• D． .以上都不對

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系求得sinα、cos（α+β）的值，再利用兩角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：∵α、β都是銳角，且cosα=$\frac{1}{3}$，sin（α+β）=$\frac{4}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴α＞$\frac{π}{3}$，α+β為鈍角，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{3}{5}$，
則cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-$\frac{3}{5}$•$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{5}$•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{8\sqrt{2}-3}{15}$，
故選：A．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角差的余弦公式的應用，屬于基礎題．