Question

15．如圖1所示：在邊長(zhǎng)為12的正方形AA′A${\;}_{1}^{′}$A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA${\;}_{1}^{′}$分別交BB₁、CC₁于P，Q兩點(diǎn)，將正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得A′A${\;}_{1}^{′}$與AA₁重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）在底邊AC上有一點(diǎn)M，且AM：MC=3：4，求證：BM∥平面APQ；
（Ⅱ）求直線BC與平面A₁PQ所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過(guò)M作MN∥CQ交AQ于N，連接PN，由PB∥CQ得MN∥PB，從而四邊形PBMN為平行四邊形，對(duì)邊平行BM∥PN，由線面平行的判定定理得BM∥平面APQ．
（Ⅱ）先求得各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出相應(yīng)向量的坐標(biāo)，再求出平面A₁PQ的法向量，由線面角公式求解．

解答 （Ⅰ）證明：過(guò)M作MN∥CQ交AQ于N，連接PN，
∵AM：MC=3：4，
∴AM：AC=MN：CQ=3：7
∴MN=PB=3，
∵PB∥CQ，
∴MN∥PB，
∴四邊形PBMN為平行四邊形，
∴BM∥PN，
∴BM∥平面APQ，
∴BM∥平面APQ；
（Ⅱ）解：由圖1知，PB=AB=3，QC=7，分別以BA，BC，BB₁為x，y，z軸，則A₁（3，0，12），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7）
$\overrightarrow{BC}$=（0，4，0），$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=（-3，0，-9），$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=（-3，4，-5）
設(shè)平面A₁PQ的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
得$\left\{\begin{array}{l}{-3a-9c=0}\\{-3a+4b-5c=0}\end{array}\right.$，
令a=-3，則c=1，b=-1，∴$\overrightarrow{n}$=（-3，-1，1）
∴cos＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{4}{\sqrt{9+1+1}•4}$=$\frac{\sqrt{11}}{11}$
∴直線BC與平面A₁PQ所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{11}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線與線，線與面，面與面的位置關(guān)系和線面平行的判定定理及空間向量的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的能力．