Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a²-a）1nx-x（a≤$\frac{1}{2}$）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)g（x）=a²lnx²-x，若f（x）＞g（x）對(duì)?x＞1恒成立．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{1}{2}$x²-21nx-x的定義域?yàn)椋?，+∞），再求導(dǎo)f′（x）=x-$\frac{2}{x}$-1=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求極值；
（2）求導(dǎo)f′（x）=x-$\frac{{a}^{2}-a}{x}$-1=$\frac{（x-a）（x+（a-1））}{x}$，討論以確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）化簡(jiǎn)可得$\frac{1}{2}$x²-（3a²-a）1nx＞0，從而可得6a²-2a＜$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，令F（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，從而求得F_min（x）=F（$\sqrt{e}$）=2e；從而化為3a²-a-e＜0，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-21nx-x的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=x-$\frac{2}{x}$-1=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，
故f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）在x=2處取得極小值f（2）=2-2ln2-2=-ln4；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a²-a）1nx-x，
∴f′（x）=x-$\frac{{a}^{2}-a}{x}$-1=$\frac{（x-a）（x+（a-1））}{x}$，
①當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，
f（x）在（0，a），（1-a，+∞）上單調(diào)遞增，
在（a，1-a）上單調(diào)遞減，
③當(dāng)a≤0時(shí)，
f（x）在（0，1-a）上單調(diào)遞減，（1-a，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）∵f（x）＞g（x），
∴$\frac{1}{2}$x²-（a²-a）1nx-x＞a²lnx²-x，
即$\frac{1}{2}$x²-（3a²-a）1nx＞0，
即6a²-2a＜$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，
令F（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，則F′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，
故F（x）在（1，$\sqrt{e}$）上是減函數(shù)，在（$\sqrt{e}$，+∞）上是增函數(shù)，
故F_min（x）=F（$\sqrt{e}$）=2e；
故6a²-2a＜2e，
故3a²-a-e＜0，
故$\frac{1}{6}$（1-$\sqrt{1+12e}$）＜a＜$\frac{1}{6}$（1+$\sqrt{1+12e}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題．