Question

4．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)為2，異面直線A₁B與B₁C₁所成角的大小為$arccos\frac{{\sqrt{5}}}{10}$．
（1）求側(cè)棱AA₁的長(zhǎng)．
（2）求A₁B與平面A₁ACC₁所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AA₁=a，求側(cè)棱AA₁的長(zhǎng)，需要找到與它有關(guān)的方程，由題設(shè)條件及圖形知，∴∠A₁BC就是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角，由于此角余弦值已知，且△A₁BC的邊A₁B，A₁C的長(zhǎng)度都可以用側(cè)棱AA₁的長(zhǎng)度a表示出來(lái)，由此可以利用余弦定理建立關(guān)于AA₁的方程．
（2）作出直線與平面所成角，利用三角形的解法求解角的大小即可．

解答 解：（1）∵B₁C₁∥BC，
∴∠A₁BC就是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角，…（2分）
設(shè)AA₁=a，則在△A₁BC中，A₁B=A₁C=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，BC=2，…（4分）
于是cos∠A₁BC=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，…（6分）
解得a=4．…（7分）．
所以，側(cè)棱AA₁的長(zhǎng)為4．…（8分）
（2）做BO⊥AC于O，連結(jié)A₁O，幾何體是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)為2，
可知AO=1，BO=$\sqrt{3}$，并且BO⊥AA₁，BO⊥平面A₁ACC₁，
A₁B與平面A₁ACC₁所成角就是∠BA₁O，A₁O=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
A₁B與平面A₁ACC₁所成角的大小為θ，tanθ=$\frac{BO}{{A}_{1}O}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{51}}{17}$，
θ=arctan$\frac{\sqrt{51}}{17}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間的距離求法，直線與平面所成角的求法，此類題求解時(shí)，技巧是轉(zhuǎn)換角度，且點(diǎn)所對(duì)的多邊形的面積易求，若這些條件不滿足，則此法不好用，學(xué)習(xí)一種典型題的解法，要注意它的適用范圍，適時(shí)總結(jié)．