Question

如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)到θ角到OB，設(shè)B點與地面距離是h．
（1）求h與θ間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒后到達OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到達最高點時用的時間．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）以圓心O為原點，以水平方向為x軸方向，以豎直方向為Y軸方向建立平面直角坐標系，則根據(jù)纜車半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動一圈，易得到到h與θ間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由60秒轉(zhuǎn)動一圈，易得點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是

π

30

，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為

π

30

t，根據(jù)（1）的結(jié)論，我們將

π

30

t代入解析式，即可得到滿足條件的t值．

解答： 解：（1）以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，
則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為θ-

π

2

，
故點B的坐標為：（4.8cos（θ-

π

2

），4.8sin（θ-

π

2

）），
∴h=5.6+4.8sin（θ-

π

2

）．
（2）點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是

π

30

，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為

π

30

t，
∴h=5.6+4.8sin（

π

30

t-

π

2

），t∈[0，+∞）．
到達最高點時，h=10.4m，
由sin（

π

30

t-

π

2

）=1可得

π

30

t-

π

2

=

π

2

，解得t=30
∴纜車到達最高點時，用的時間最少為30秒．

點評：本題考查建立三角函數(shù)模型，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，是解答的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．