Question

18．已知函數(shù)f（x）=x³-3x，若過點M（2，t）可作曲線y=f（x）的兩條切線，且點M不在函數(shù)f（x）的圖象上，則實數(shù)t的值為-6．

Answer 1

分析 設(shè)切點為（a，a³-3a），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率k=f′（a），利用點斜式寫出切線方程，將點M代入切線方程，可得關(guān)于a的方程有兩個不同的解，利用參變量分離可得2a³-6a²=-6-m，令g（x）=2x³-6x²，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的單調(diào)性和極值，則根據(jù)y=g（x）與y=-6-t有兩個不同的交點，即可得到t的值．

解答 解：設(shè)切點為（a，a³-3a），
f（x）=x³-3x，可得f′（x）=3x²-3，
即有切線的斜率k=f′（a）=3a²-3，
由點斜式可得切線方程為y-（a³-3a）=（3a²-3）（x-a），
切線過點M（2，t），
可得t-（a³-3a）=（3a²-3）（2-a），即2a³-6a²=-6-t，
由過點M（2，t）（t≠2）可作曲線y=f（x）的兩條切線，
即有關(guān)于a的方程2a³-6a²=-6-t有兩個不同的根，
令g（x）=2x³-6x²，
g′（x）=6x²-12x=0，解得x=0或x=2，
當(dāng)x＜0時，g′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜2時，g′（x）＜0，當(dāng)x＞2時，g′（x）＞0，
g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x=0時，g（x）取得極大值g（0）=0，
當(dāng)x=2時，g（x）取得極小值g（2）=-8，
關(guān)于a的方程2a³-6a²=-6-t有兩個不同的根，
等價于y=g（x）與y=-6-t的圖象有兩個不同的交點，
可得-6-t=-8或-6-t=0，解得t=2或-6，
由M不在函數(shù)f（x）的圖象上，可得t=-6．
故答案為：-6．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點處的導(dǎo)數(shù)即該點處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問題，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．運用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．