Question

8．若函數(shù)f（x）=lg（$\frac{2}{1-x}$+a）是奇函數(shù)，則使f（x）＜0的x的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-1，0）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)條件容易判斷a≠0，從而可得出$f（x）=lg\frac{a（x-\frac{a+2}{a}）}{x-1}$，根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，從而討論a的符號解不等式$\frac{a（x-\frac{a+2}{a}）}{x-1}＞0$，并滿足該不等式的解集關(guān)于原點對稱，這樣便可求出a=-1，從而得出$f（x）=lg\frac{-（x+1）}{x-1}$，這樣解不等式$lg\frac{-（x+1）}{x-1}＜0$便可得出x的取值范圍．

解答 解：a=0時，顯然f（x）不是奇函數(shù)；
∴a≠0；
∴$f（x）=lg\frac{a（x-\frac{a+2}{a}）}{x-1}$；
∵f（x）的定義域關(guān)于原點對稱；
∴（1）若a＞0，則$\frac{a+2}{a}＞0$，∴不等式$\frac{a（x-\frac{a+2}{a}）}{x-1}＞0$的解集不關(guān)于原點對稱；
即這種情況不存在；
（2）若a＜0，則解$\frac{a（x-\frac{a+2}{a}）}{x-1}＞0$得，$\frac{a+2}{a}＜x＜1$；
∴$\frac{a+2}{a}=-1$；
解得a=-1，滿足條件；
∴$f（x）=lg\frac{-（x+1）}{x-1}$；
∴解$lg\frac{-（x+1）}{x-1}＜0$得：
$0＜\frac{-（x+1）}{x-1}＜1$；
解得-1＜x＜0；
∴使f（x）＜0的x的取值范圍是（-1，0）．
故選：B．

點評 考查奇函數(shù)的定語，奇函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱的特點，以及分式不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．