Question

3．已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C滿足2B=A+C．則b=2，a+c的取值范圍為（2，4]．

Answer 1

分析 先根據(jù)正弦定理求出2R并表示出a+c，再結合輔助角公式以及角A的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案．

解答 解：∵2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{3}$，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
∴2R=$\frac{sinB}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴a+c=2R（sinA+sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）=4sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$⇒2＜4sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1；
∴a+c∈（2，4]．
故答案為：（2，4]．

點評 本題主要考查正弦定理的應用以及輔助角公式的應用．解決這類問題的關鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運用，屬于基礎題．