Question

3．已知橢圓T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{3}{5}$，過(guò)右焦點(diǎn)F₂且與x軸垂直的直線被橢圓T截得的線段長(zhǎng)為$\frac{32}{5}$
（1）求橢圓T的方程；
（2）設(shè)A為橢圓T的左頂點(diǎn)，過(guò)F₂的動(dòng)直線l交橢圓于B，C兩點(diǎn)（與A不重合），直線AB，AC的斜率分別為k₁，k₂．求證：k₁•k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)右焦點(diǎn)F₂且與x軸垂直的直線被橢圓T截得的線段長(zhǎng)為$\frac{32}{5}$，可得$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{32}{5}$，即$\frac{^{2}}{a}=\frac{16}{5}$．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{^{2}}{a}=\frac{16}{5}}\\{\frac{c}{a}=\frac{3}{5}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可．
（2）A（-5，0）．設(shè)BC的方程為my=x-3，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可得：（16m²+25）y²+96my-256=0．利用斜率計(jì)算公式可得：k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+5}$，k₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+5}$．于是k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+8m（{y}_{1}+{y}_{2}）+64}$，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 （1）解：∵過(guò)右焦點(diǎn)F₂且與x軸垂直的直線被橢圓T截得的線段長(zhǎng)為$\frac{32}{5}$，∴$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{32}{5}$，即$\frac{^{2}}{a}=\frac{16}{5}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{^{2}}{a}=\frac{16}{5}}\\{\frac{c}{a}=\frac{3}{5}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=5，b=4，c=3．
∴橢圓T的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
（2）證明：A（-5，0）．
設(shè)BC的方程為my=x-3，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-3}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，化為（16m²+25）y²+96my-256=0．
∴y₁+y₂=-$\frac{96m}{16{m}^{2}+25}$，y₁y₂=$\frac{-256}{16{m}^{2}+25}$．
∵k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+5}$，k₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+5}$．
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+5}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+5}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}+8）（m{y}_{2}+8）}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+8m（{y}_{1}+{y}_{2}）+64}$=$\frac{\frac{-256}{16{m}^{2}+25}}{\frac{-256{m}^{2}}{16{m}^{2}+25}-\frac{768{m}^{2}}{16{m}^{2}+25}+64}$=$-\frac{4}{25}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．