Question

14．對實數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a-b≤1}\\{b，a-b＞1}\end{array}\right.$，設(shè)函數(shù)f（x）=（x²-2）?（x-x²），x∈R．若函數(shù)y=f（x）-K的圖象與x軸恰有三個公共點，則實數(shù)K的取值范圍是（-2，-1]．

Answer 1

分析 比較x²-2與（x-x²）+1的大小，從而化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，-1≤x≤\frac{3}{2}}\\{x-{x}^{2}，x＜-1或x＞\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，作其圖象，結(jié)合圖象解得．

解答 解：∵x²-2-（x-x²）-1=2x²-x-3=（2x-3）（x+1），
∴f（x）=（x²-2）?（x-x²）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，-1≤x≤\frac{3}{2}}\\{x-{x}^{2}，x＜-1或x＞\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
作函數(shù)y=f（x）的圖象如下，
，
∵-1-（-1）²=-2，$\frac{3}{2}$-（$\frac{3}{2}$）²=-$\frac{3}{4}$，
（-1）²-2=-1，0²-2=-2，（$\frac{3}{2}$）²-2=$\frac{1}{4}$；
結(jié)合圖象可知，
當(dāng)-2＜K≤-1時，函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=K的圖象有三個交點，
故答案為：（-2，-1]．

點評 本題考查了學(xué)生對新定義的接受與應(yīng)用能力及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想．