Question

設函數，．

（I）判斷函數在內的單調性，并說明理由；

（II）求最大的整數，使得對所有的及都成立．

（注：.）

Answer 1

解：（I）函數的導數  

  ，              

       故在內，當為奇數時，，則函數在內單調遞增；當為偶數時，，則函數在內單調遞減.  

（II）注意到對任意，，                    

     由（I），對任意，

當為奇數時，；當為偶數時，.         

故當為奇數時，為偶數，，即，

而，故；                       

同理，當為偶數時，仍有.                 

所以對任意及，都有.         

又，故，即. 

因此能夠使得對所有的及都成立.

再注意到，故當充分接近時，必有，

這表明不能使得對所有的及都成立.

所以為滿足要求的最大整數.