Question

19．已知某同學(xué)每次投籃的命中率為$\frac{2}{3}$，且每次投籃是否命中相互獨(dú)立，該同學(xué)投籃5次．
（1）求至少有1次投籃命中的概率；
（2）設(shè)投籃命中的次數(shù)為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)5次投籃至少有1次投籃命中為事件A，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有1次投籃命中的概率．
（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）設(shè)5次投籃至少有1次投籃命中為事件A，
則P（A）=1-（1-$\frac{2}{3}$）⁵=$\frac{242}{243}$，
∴至少有1次投籃命中的概率為$\frac{242}{243}$．
（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，5，
P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）⁵=$\frac{1}{243}$，
P（X=1）=${C}_{5}^{1}（\frac{2}{3}）（1-\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{10}{243}$，
P（X=2）=${C}_{5}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（1-\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{40}{243}$，
P（X=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（1-\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{80}{243}$，
P（X=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}（1-\frac{2}{3}）^{1}$=$\frac{80}{243}$，
P（X=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{2}{3}）^{5}$=$\frac{32}{243}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{32}{243}$

∵X～B（5，$\frac{2}{3}$），∴E（X）=5×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．