Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n是2a與-2na_n的等差中項(xiàng)，其中a≠0．
（1）求數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)a₁，a₂，a₃；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，可得S_n=a-na_n，再令n=1，2，3，計(jì)算即可得到所求值；
（2）猜想a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$a．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意由假設(shè)n=k（其中k∈N*）時(shí)，猜想成立，運(yùn)用a_k+1=S_k+1-S_k，化簡(jiǎn)整理即可得證．

解答 解：（1）因?yàn)镾_n是2a與-2na_n的等差中項(xiàng)，則S_n=a-na_n，
由a₁=S₁=a-a₁，∴a₁=$\frac{1}{2}$a；
由a₁+a₂=a-2a₂，∴a₂=$\frac{1}{6}$a；
由a₁+a₂+a₃=a-3a₃，∴a₃=$\frac{1}{12}$a；
（2）猜想a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$a．                             
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$a，猜想成立；
②假設(shè)n=k（其中k∈N*）時(shí)，猜想成立，即a_k=$\frac{1}{k（k+1）}$a．
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k+1-S_k=a-（k+1）a_k+1-a+ka_k，
∴（k+2）a_k+1=ka_k=k•$\frac{1}{k（k+1）}$a，
即a_k+1=$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$a，所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
由①②知，對(duì)任意n∈N*，猜想a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$a 都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用歸納猜想和數(shù)學(xué)歸納法證明，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．