分析 (1)運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì),可得Sn=a-nan,再令n=1,2,3,計(jì)算即可得到所求值;
(2)猜想an=$\frac{1}{n(n+1)}$a.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明,注意由假設(shè)n=k(其中k∈N*)時(shí),猜想成立,運(yùn)用ak+1=Sk+1-Sk,化簡整理即可得證.
解答 解:(1)因?yàn)镾n是2a與-2nan的等差中項(xiàng),則Sn=a-nan,
由a1=S1=a-a1,∴a1=$\frac{1}{2}$a;
由a1+a2=a-2a2,∴a2=$\frac{1}{6}$a;
由a1+a2+a3=a-3a3,∴a3=$\frac{1}{12}$a;
(2)猜想an=$\frac{1}{n(n+1)}$a.
證明:①當(dāng)n=1時(shí),a1=$\frac{1}{2}$a,猜想成立;
②假設(shè)n=k(其中k∈N*)時(shí),猜想成立,即ak=$\frac{1}{k(k+1)}$a.
當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=Sk+1-Sk=a-(k+1)ak+1-a+kak,
∴(k+2)ak+1=kak=k•$\frac{1}{k(k+1)}$a,
即ak+1=$\frac{1}{(k+1)(k+2)}$a,所以,當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立.
由①②知,對(duì)任意n∈N*,猜想an=$\frac{1}{n(n+1)}$a 都成立.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,注意運(yùn)用歸納猜想和數(shù)學(xué)歸納法證明,考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-2$\sqrt{3}$,2$\sqrt{3}$) | B. | (2$\sqrt{3}$,+∞) | C. | (-2$\sqrt{3}$,0)∪(2$\sqrt{3}$,+∞) | D. | (-2$\sqrt{3}$,+∞) |
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A. | $\sqrt{89}$ | B. | 7$\sqrt{3}$ | C. | 4+3$\sqrt{3}$ | D. | 3+4$\sqrt{3}$ |
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A. | $-\sqrt{3}+1$ | B. | $-\sqrt{3}-1$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | -1 |
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