Question

6．已知拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|=|FD|，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l₁∥l，且l₁和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，試問(wèn)直線(xiàn)AE是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知A點(diǎn)橫坐標(biāo)為FD的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，列出方程解出p．
（II）根據(jù)|FA|=|FD|列出方程得出A，D橫坐標(biāo)的關(guān)系，從而得出l的斜率，設(shè)l₁方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，由判別式△=0得出l的截距與A點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，得出AE方程，根據(jù)方程特點(diǎn)判斷定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（I）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），設(shè)D（t，0），則FD的中點(diǎn)為（$\frac{p+2t}{4}$，0）．
∵|FA|=|FD|，∴3+$\frac{p}{2}$=|t-$\frac{p}{2}$|，解得t=3+p或t=-3（舍）．
∵$\frac{p+2t}{4}=3$，∴$\frac{3p+6}{4}=3$，解得p=2．
∴拋物線(xiàn)方程為y²=4x．
（II）由（I）知F（1，0），設(shè)A（x₀，y₀），D（x_D，0），
∵|FA|=|FD|，則|x_D-1|=x₀+1，由x_D＞0得x_D=x₀+2，即D（x₀+2，0）．
∴直線(xiàn)l的斜率為k_AD=-$\frac{{y}_{0}}{2}$．∵l₁∥l，故直線(xiàn)l₁的斜率為-$\frac{{y}_{0}}{2}$．
設(shè)直線(xiàn)l₁的方程為y=-$\frac{{y}_{0}}{2}$x+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=-\frac{{y}_{0}}{2}x+b}\end{array}\right.$，消元得：y²+$\frac{8}{{y}_{0}}$y-$\frac{8b}{{y}_{0}}$=0，
∵直線(xiàn)l₁與拋物線(xiàn)相切，
∴△=$\frac{64}{{{y}_{0}}^{2}}+\frac{32b}{{y}_{0}}=0$，∴b=-$\frac{2}{{y}_{0}}$．
設(shè)E（x_E，y_E），則y_E=-$\frac{4}{{y}_{0}}$，x_E=$\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}}$，
當(dāng)y₀²≠4時(shí)，k_AE=$\frac{{y}_{E}-{y}_{0}}{{x}_{E}-{x}_{0}}$=$\frac{4{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-4}$，直線(xiàn)AE的方程為y-y₀=$\frac{4{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-4}$（x-x₀），
∵y₀²=4x₀，∴直線(xiàn)AE方程為y=$\frac{4{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-4}（x-1）$．∴直線(xiàn)AE經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）．
當(dāng)y₀²=4時(shí)，直線(xiàn)AE方程為x=1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）．
綜上，直線(xiàn)AE過(guò)定點(diǎn)F（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的關(guān)系，屬于中檔題．