Question

11．已知點(diǎn)M（-1，-2）是拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，A，B在拋物線上，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，且有|AF|+|BF|=8，則線段AB的垂直平分線必過點(diǎn)（　　）

• A． （3，0）
• B． （5，0）
• C． （3，2）
• D． （5，4）

Answer 1

分析 確定拋物線的方程，由|AF|+|BF|=8，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為x₁+x₂+2=8，從而求出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，設(shè)出C的坐標(biāo)，利用C在AB的垂直平分線上得|AC|=|BC|，代入兩點(diǎn)間的距離公式后移向整理，代入兩橫坐標(biāo)的和后可求m的值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
∵點(diǎn)M（-1，-2）是拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，
∴拋物線方程為y²=4x，其準(zhǔn)線x=1．
∵|AF|+|BF|=8，
∴由定義得x₁+x₂+2=8，則x₁+x₂=6．
設(shè)直線AB的垂直平分線l與x軸的交點(diǎn)C（m，0）．
由C在AB的垂直平分線上，從而|AC|=|BC|，
即（x₁-m）²+y₁²=（x₂-m）²+y₂²，
即（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）=4x₂-4x₁=-4（x₁-x₂），
∵x₁≠x₂，∴x₁+x₂-2m=-4．
又∵x₁+x₂=6，∴m=5，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0）．
即直線AB的垂直平分線l與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)（5，0）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義和方程，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考�？嫉闹�識(shí)點(diǎn)，屬中檔題．