Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)；

（3）若為R上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；（3）

【解析】

（1）首先求出切點(diǎn)，再求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及點(diǎn)斜式方程即可求解.

（2）先求導(dǎo)數(shù)，再討論滿(mǎn)足的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，通過(guò)列表來(lái)確定極值點(diǎn)即可.

（3）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，由為R上的單調(diào)函數(shù)，若為R上的單調(diào)增函數(shù)，故恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到，為R上的單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，則恒成立，得到，進(jìn)而可求解.

（1），所以切點(diǎn)為，

曲線在處的切線方程：，即，

故曲線在處的切線方程為.

（2）當(dāng)時(shí)，，

由，得，，

當(dāng)變化時(shí)，與的相應(yīng)變化如下表：

，

所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn).

（3）當(dāng)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，

則恒成立，即恒成立，

當(dāng)時(shí)，則恒成立，

當(dāng)時(shí)，，解得，

當(dāng)為R上的單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，

則恒成立，即，

當(dāng)時(shí)，則不恒成立，

當(dāng)時(shí)，，無(wú)解.

綜上所述，.