Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+m（0≤x≤$\frac{π}{2}$）．
（1）若函數(shù)f（x）的最大值為6，求常數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個零點x₁和x₂，求m的取值范圍，并求x₁和x₂的值；
（3）在（1）的條件下，若g（x）=（t-1）f（x）-$\frac{3sinx-\sqrt{3}cosx}{\sqrt{3}cosx+sinx}$（t≥2），討論函數(shù)g（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦公式，兩角和的正弦公式化簡解析式，由x的范圍求出$2x+\frac{π}{6}$的范圍，由正弦函數(shù)的最大值和條件列出方程，求出m的值；
（2）由x的范圍求出z=$2x+\frac{π}{6}$的范圍，將函數(shù)f（x）有兩個零點轉(zhuǎn)化為：方程2sinz=-1-m在$z∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{7π}{6}]$上有兩解，再轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象有兩個交點，由正弦函數(shù)的圖象列出不等式，求出m的范圍，由正弦函數(shù)的圖象和對稱性求出x₁與x₂的和；
（3）由（1）求出f（x）的最小值，求出當t≥2時（t-1）f（x）的范圍，利用商的關(guān)系、兩角差的正切公式化簡$\frac{3sinx-\sqrt{3}cosx}{\sqrt{3}cosx+sinx}$，由x的范圍、正切函數(shù)的性質(zhì)求出$\frac{3sinx-\sqrt{3}cosx}{\sqrt{3}cosx+sinx}$范圍，即可判斷出函數(shù)g（x）的零點個數(shù)．

解答 解：（1）由題意得，
$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x+m=\sqrt{3}sin2x+cos2x+1+m$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1+m$…（2分），
∵$x∈[0\;，\;\frac{π}{2}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{7π}{6}]$，則$-\frac{1}{2}≤2sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴$2sin（2x+\frac{π}{6}）=1$ 時，f（x）_最大=2×1+1+m=6，
解得m=3； …（4分）
（2）令$z=2x+\frac{π}{6}$，∵$x∈[0\;，\;\frac{π}{2}]$，∴$z=2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{7π}{6}]$，
函數(shù)f（x）在$x∈[0\;，\;\frac{π}{2}]$上有兩個零點x₁，x₂?方程2sinz=-1-m在$z∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{7π}{6}]$上有兩解．…（5分）
即函數(shù)y=2sinz與y=-m-1在$z∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{7π}{6}]$上有兩個交點，
由圖象可知$2×\frac{1}{2}≤-1-m＜2×1$，解得-3＜m≤-2…（6分）
由圖象可知$\frac{{{z_1}\;+\;{z_2}}}{2}=\frac{π}{2}$，∴$2{x_1}+\frac{π}{6}\;+2\;{x_2}+\frac{π}{6}=π$，
解得${x_1}\;+\;{x_2}=\frac{π}{3}$…（8分）
（3）在（1）的條件下，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$，
且$-\frac{1}{2}≤2sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，則$f{（x）_{最小}}=2×（-\frac{1}{2}）+4=3$，
當t≥2時，（t-1）f（x）≥3（當t=2且$x=\frac{π}{2}$時取等號）…（9分）$\frac{{3sinx-\sqrt{3}cosx}}{{\sqrt{3}cosx+sinx}}=\frac{{\sqrt{3}（tanx-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）}}{{1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}tanx}}=\sqrt{3}tan（x-\frac{π}{6}）$，
∵$x∈[0\;，\;\frac{π}{2}]$，∴$x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}\;，\;\frac{π}{3}]$，
$\sqrt{3}tan（x-\frac{π}{6}）≤\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$（當$x=\frac{π}{2}$時取等號）…（10分）
所以當t=2時，函數(shù)$g（x）=（t-1）f（x）-\frac{{3sinx-\sqrt{3}cosx}}{{\sqrt{3}cosx+sinx}}$有一個零點$x=\frac{π}{2}$…（11分）
當t＞2時，（t-1）f（x）＞3$≥\frac{{3sinx-\sqrt{3}cosx}}{{\sqrt{3}cosx+sinx}}$恒成立，
函數(shù)$g（x）=（t-1）f（x）-\frac{{3sinx-\sqrt{3}cosx}}{{\sqrt{3}cosx+sinx}}$沒有零點…（12分）

點評 本題考查正弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換中的公式，以及函數(shù)零點、方程的根與函數(shù)圖象交點之間的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，化簡、變形能力．