Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；

（Ⅱ）證明：當時， ；

（Ⅲ）確定實數(shù)的值，使得存在，當時，恒有.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析（3）

【解析】【試題分析】（I）先求函數(shù)的定義域，然后求導令導數(shù)大于零即可求得函數(shù)的遞增區(qū)間.（II）構造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)在時函數(shù)值小于零，由此證得不等式成立.（III）由（II）可知時不存在.當時，有，則，故也不存在.當時，構造函數(shù)，利用導致證得不等式成立，故.

【試題解析】

（Ⅰ）， .

由得解得.

故的單調遞增區(qū)間是.

（Ⅱ）令， .

則有.

當時， ，

所以在上單調遞減，

故當時， ，即當時， .

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，不存在滿足題意.

當時，對于，有，則，從而不存在滿足題意.

當時，令， ，

則有 .

由得， .

解得， .

當時， ，故在內單調遞增.

從而當時， ，即，

綜上， 的取值范圍是.