【題目】已知函數(shù)，且在和處取得極值．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得曲線與軸有兩個交點，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】試題分析：（1）由f（x）=ax3+bx2-2x在x=1或2處取得極值，可得f'（1）=f'（2）=0，故可得到a、b的方程組，求解即可；

（2）曲線y=g（x）與x軸有兩個交點，轉(zhuǎn)化成g（x）=0有兩個不同的實數(shù)解，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后依題意有g(shù)（x）極大值=0或g（x）極小值=0即可求出t的值．

試題解析：（1），

因為在和處取得極值，

所以和是的兩個根，

則，解得，

經(jīng)檢驗符合已知條件，故；

（2）由題意知，

令得， 或，

隨著變化情況如下表所示：

1

2

-

0

+

0

-

遞減

極小值

遞增

極大值

遞減

由上表可知，

又取足夠大的正數(shù)時， ，

取足夠小的負數(shù)時， ，

因此，為使曲線與軸有兩個交點，結(jié)合的單調(diào)性，

得或，

∴或，

即存在，且或時，曲線與軸有兩個交點．

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相關(guān)習題

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【題目】為了了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量（單位：噸）對價格（單位：千元/噸）和利潤的影響，對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表：

參考公式： ， .

根據(jù)參考公式，以求得

（1）求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當年產(chǎn)量為多少時，年利潤取到最大值？（保留兩位小數(shù)）

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【題目】某體校為了備戰(zhàn)明年四月份省劃艇單人雙槳比賽，對本校甲、乙兩名劃艇運動員在相同條件下進行了6次測試，測得他們劃艇最大速度單位：數(shù)據(jù)如下：

甲：27，38，30，37，35，31；

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試用莖葉圖表示甲、乙兩名運動員測試的成績；

根據(jù)測試的成績，你認為派哪名運動員參加明年四月份的省劃艇單人雙槳比賽比較合適？并說明你的理由

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）證明：當時， ；

（Ⅲ）確定實數(shù)的值，使得存在，當時，恒有.

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【題目】已知拋物線上一點到其焦點的距離為2．

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線與圓切于點，與拋物線切于點，求的面積．

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【題目】橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于兩點，當直線與軸平行時，直線被橢圓截得的線段長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在軸上是否存在異于點的定點，使得直線變化時，總有？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓C：，直線l：．

Ⅰ求證：直線l與圓C必相交；

Ⅱ求直線l被圓C截得的弦長最短時直線l的方程以及最短弦長．

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【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，對角線AC與BD交于點O，M為OC中點．

（1）求證：BD⊥PM
（2）若二面角O﹣PM﹣D的正切值為2 ，求 的值．

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【題目】調(diào)查某校 100 名學生的數(shù)學成績情況，得下表：

一般

良好

優(yōu)秀

男生（人）

18

女生（人）

10

17

已知從這批學生中隨機抽取1名學生，抽到成績一般的男生的概率為0.15.

（1）求的值；

（2）若用分層抽樣的方法，從這批學生中隨機抽取20名，問應(yīng)在優(yōu)秀學生中抽多少名？

（3）已知，優(yōu)秀學生中男生不少于女生的概率.

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