Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ln（x+a）}{lnx}$．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并比較log₂3，log₃4與log₄5的大��；
（Ⅱ）若實數(shù)a滿足|a|≥1時，討論f（x）極值點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先對函數(shù)f（x）求導，根據(jù)導函數(shù)在不同區(qū)間的正負得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大��；（Ⅱ）先對函數(shù)f（x）求導，通過討論導函數(shù)的符號確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f（x）的極值點的個數(shù)．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{xlnx-（x+1）ln（x+1）}{x（x+1）l{n}^{2}x}$，當x∈（1，+∞）時，$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜x+1}\\{0＜lnx＜ln（x+1）}\end{array}\right.$
當x∈（0，1）時，$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜x+1}\\{lnx＜0＜ln（x+1）}\end{array}\right.$從而xlnx＜（x+1）ln（x+1），所以f′（x）＜0．
即f（x）只有減區(qū)間，故f（x）的減區(qū)間為：（0，1），（1，+∞）．
又f（x）=$\frac{ln（x+1）}{lnx}=lo{g}_{x}（x+1）$，
所以log₂3＞log₃4＞log₄5．
（2）f′（x）=$\frac{xlnx-（x+a）ln（x+a）}{x（x+a）l{n}^{2}x}$，下面只需確定xlnx-（x+a）ln（x+a）的符號．
令g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，當x$∈（0，\frac{1}{e}）$時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當x∈（$\frac{1}{e}，+∞）$時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
①若（x+a）-x=a≥1，當x$∈（0，\frac{1}{e}）$時，x+a∈（1，+∞），
∴g（x）＜0＜g（x+a）；
當x∈（$\frac{1}{e}，+∞）$時，x+a∈（$\frac{1}{e}$，+∞），因為g（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，得g（x）＜g（x+a）；
∴當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，都有g(shù)（x）＜g（x+a），∴f′（x）＜0．
此時f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）也單調(diào)遞減，無極值點．
②若（x+a）-x=a≤-1，∵f（x）的定義域為（-a，+∞），此時x＞1，
∴由g（x）性質(zhì)可知：當x∈（-a，+∞）時，g（x）-g（x+a）＞0，
即f′（x）＞0，此時f（x）在（-a，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點．
綜上：|a|≥1時，f（x）無極值點．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，綜合性較強，注意分類討論的數(shù)學思解在解題中的應用．