Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線方程為x+y+3=0
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=ln（x-1），求證：2g（x）＜（x²+1）f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（-1），結(jié)合函數(shù)f（x）在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線方程為x+y+3=0，可得f′（-1）=-1，且f（-1）=-2，聯(lián)立求得a，b的值得答案；
（2）把證明2g（x）＜（x²+1）f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立轉(zhuǎn)化為證2ln（x-1）＜2x-2在x∈（1，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=2x-2-2ln（x-1），
利用導(dǎo)數(shù)求其最小值證得答案．

解答 （1）解：∵f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$，∴f′（x）=$\frac{a-a{x}^{2}-2bx}{（{x}^{2}+1）^{2}}$．
則f′（-1）=$\frac{a-a+2b}{4}=-1$，且f（-1）=$\frac{b-a}{2}=-2$，
解得：a=2，b=-2．
∴f（x）=$\frac{2x-2}{{x}^{2}+1}$；
（2）證明：∵f（x）=$\frac{2x-2}{{x}^{2}+1}$，g（x）=ln（x-1），
∴要證2g（x）＜（x²+1）f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即證2ln（x-1）＜2x-2在x∈（1，+∞）上恒成立，
令h（x）=2x-2-2ln（x-1），則h′（x）=2-$\frac{2}{x-1}$=$\frac{2x-4}{x-1}$．
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）＞0．
∴h（x）在（1，2）上為減函數(shù)；在（2，+∞）上為增函數(shù)．
則h（x）_min=h（2）=2＞0．
∴2ln（x-1）＜2x-2在x∈（1，+∞）上恒成立，
即2g（x）＜（x²+1）f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．