Question

14．已知△ABC中，AB+2AC=12，BC=6，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，則中線AD長的最小值為$\frac{3\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)AC=x，根據(jù)三角形的性質(zhì)求出x的范圍，先后在△ABC，△ABD中使用余弦定理得出AD關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)x的范圍求出AD的最小值．

解答 解：設(shè)AC=x，則AB=12-2x，
由三角形的性質(zhì)得$\left\{\begin{array}{l}{12-2x+x＞6}\\{12-2x-x＜6}\\{12-2x≥x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{12-2x+x＞6}\\{x-12+2x＜6}\\{x≥12-2x}\end{array}\right.$，
解得4≤x＜6．
在△ABC中，由余弦定理得cosB=$\frac{（12-2x）^{2}+36-{x}^{2}}{2•（12-2x）•6}$．
在△ABD中，由余弦定理得AD²=（12-2x）²+9-2•3•（12-2x）•cosB=$\frac{5}{2}{x}^{2}$-24x+63=$\frac{5}{2}$（x-$\frac{24}{5}$）²+$\frac{27}{5}$．
∴當(dāng)x=$\frac{24}{5}$時(shí)，AD²取得最小值$\frac{27}{5}$．
∴AD的最小值為$\sqrt{\frac{27}{5}}$=$\frac{3\sqrt{15}}{5}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理，解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題．