Question

14．仙游某家具城生產(chǎn)某種家具每件成本為3萬元，每件售價為x萬元（x＞3），月銷量為t件，經(jīng)驗表明，t=$\frac{a}{x-3}$+10（x-6）²，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5萬元時，月銷量為11件．
（1）求a的值；
（2）求售價定為多少時，該家具的月利潤最大，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）將x，y的值代入方程，求出a的值即可；（2）求出函數(shù)表達式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極大值和極小值，從而求出函數(shù)的最大值，得到答案即可．

解答 解：（1）因為x=5時，y=11，所以$\frac{a}{2}$+10=11，a=2．…（2分）
（2）由（1）可知，該商品每日的銷售量y=$\frac{2}{x-3}$+10（x-6）²．
所以該家具的月利潤為：
f（x）=（x-3）[$\frac{2}{x-3}$+10（x-6）²]=2+10（x-3）（x-6）²，3＜x＜6．…（5分）
從而，f′（x）=10[（x-6）²+2（x-3）（x-6）]=30（x-4）（x-6）．…（7分）
于是，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值42	單調(diào)遞減

由上表可得，x=4是函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，6）內(nèi)的極大值點，也是最大值點．
所以，當x=4時，函數(shù)f（x）取得最大值，且最大值等于42．…（11分）
答：當銷售價格為4萬元時，該家具的月利潤最大，最大值等于42萬元．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)模型的建立，是一道中檔題．