Question

已知橢圓C：

x2

4

+y²=1，
（1）若直線l過點Q（1，1），交橢圓C于A、B兩點，求直線l的方程使得Q為AB的中點；
（2）定點M（0，2），P為橢圓C上任意一點，求線段PM的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì),直線的點斜式方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用點差法求直線的方程；
（2）設(shè)出橢圓上任意一點的參數(shù)坐標，由兩點間的距離公式寫出|PA|，利用配方法求其最大值．

解答： 解：（1）設(shè)A（（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則：

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1，
兩式相減得：

(x1-x2)(x1+x2)

4

+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
因為Q（1，1）為AB的中點，
所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
所以

y1-y2

x1-x2

=-

1

4

，
故l的方程為：x+4y-5=0…7分
（2）因為橢圓C：

x2

4

+y²=1，
設(shè)P點坐標是（2cost，sint）
則|PA|=

(2cost)2+(sint-2)2

=

-3(sint- 2 3 )2+ 28 3

，
∴當sint=

2

3

時，|PA|_max=

28 3

=

2 21

3

，
故答案為：

2 21

3

…14分．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了橢圓的參數(shù)方程，訓練了函數(shù)最值的求法，是中檔題．