Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E是棱AB上一點
（Ⅰ） 當(dāng)點E在AB上移動時，三棱錐D-D₁CE的體積是否變化？若變化，說明理由；若不變，求這個三棱錐的體積；
（Ⅱ） 當(dāng)點E在AB上移動時，是否始終有D₁E⊥A₁D，證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）若E是AB的中點，求二面角D₁-EC-D的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）當(dāng)點E在AB上移動時，三棱錐D-D₁CE的體積不變，由VD-D1CE=VD1-DCE，能求出這個三棱錐的體積．（Ⅱ）當(dāng)點E在AB上移動時，始終有D₁E⊥A₁D．連結(jié)AD₁，由已知得A1D⊥AD1 ，A₁D⊥AB，從而A₁D⊥平面AD₁E，由此能證明D₁E⊥A₁D．
（Ⅲ）由已知得DE⊥EC，D₁D⊥EC，從而CE⊥平面D₁DE，∠D₁ED是二面角D₁-EC-D的平面角，由此能求出二面角D₁-EC-D的正切值．

解答： （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）當(dāng)點E在AB上移動時，三棱錐D-D₁CE的體積不變，
S△DCE=

1

2

DC×AD=

1

2

×2×1=1，DD₁=1，
∴VD-D1CE=VD1-DCE=

1

3

S△DCE×DD1=

1

3

×1×1=

1

3

．（4分）
（Ⅱ）當(dāng)點E在AB上移動時，始終有D₁E⊥A₁D，
證明：連結(jié)AD₁，四邊形ADD₁A₁是正方形，∴A1D⊥AD1 ，
∵AE⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，∴A₁D⊥AB，
∵AB∩AD₁=A，AB?平面AD₁E，AD₁?平面AD₁E，
∴A₁D⊥平面AD₁E，
∵D₁E?平面AD₁E，∴D₁E⊥A₁D．（8分）
（Ⅲ）∵E為AB中點，∴DE=EC=

2

，
而CD=2，∴DE²+EC²=DC²，
∴DE⊥EC，∵DD₁⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，∴D₁D⊥EC，
∵DD₁∩DE=D，DD₁?平面D₁DE，DE?平面D₁DE，
∴CE⊥平面D₁DE，
∵D₁E?平面D₁DE，∴CE⊥D₁E，
∴∠D₁ED是二面角D₁-EC-D的平面角，
tan∠D1ED=

D1D

DE

=

1

2

=

2

2

，
∴二面角D₁-EC-D的正切值為

2

2

．（12分）

點評：本題考查三棱錐體積的求法，考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．