Question

5．設(shè)$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}sin\frac{x}{4}，1}），\overrightarrow n=（{cos\frac{x}{4}，{{cos}^2}\frac{x}{4}}）$，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）當(dāng)x=π時(shí)，求函數(shù)f（x）的值；
（2）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且滿足bcosC+$\frac{1}{2}$c=a，求△ABC的內(nèi)角B的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出f（x），再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，并利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)為一個(gè)角的正弦函數(shù)，將x=π代入計(jì)算即可求出值；
（2）利用余弦定理化簡(jiǎn)已知等式，整理得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosB，將得出關(guān)系式代入求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=π時(shí)，f（π）=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；
（2）由余弦定理及已知bcosC+$\frac{1}{2}$c=a得：b•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$\frac{1}{2}$c=a，
化簡(jiǎn)得a²+c²-b²=ac，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．