【題目】如圖,在三棱臺(tái)中,分別為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若平面,,
,求平面與平面所成角(銳角)的大。
【答案】(Ⅰ)略;(Ⅱ)
【解析】
試題(Ⅰ)思路一:連接,設(shè),連接,先證明,從而由直線與平面平行的判定定理得平面;思路二:先證明平面平面,再由平面與平面平行的定義得到平面.
(Ⅱ)思路一:連接,設(shè),連接,證明兩兩垂直, 以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用空量向量的夾角公式求解;思路二:作于點(diǎn),作于點(diǎn),連接,證明即為所求的角,然后在三角形中求解.
試題解析:
(Ⅰ)證法一:連接,設(shè),連接,
在三棱臺(tái)中,
為的中點(diǎn)
可得
所以四邊形為平行四邊形
則為的中點(diǎn)
又為的中點(diǎn)
所以
又平面平面
所以平面.
證法二:
在三棱臺(tái)中,
由為的中點(diǎn)
可得
所以四邊形為平行四邊形
可得
在中,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),
所以
又,所以平面平面
因?yàn)?/span>平面
所以平面
(Ⅱ)解法一:
設(shè),則
在三棱臺(tái)中,
為的中點(diǎn)
由,
可得四邊形為平行四邊形,
因此
又平面
所以平面
在中,由,是中點(diǎn),
所以
因此兩兩垂直,
以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
所以
可得
故
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則
由可得
可得平面的一個(gè)法向量
因?yàn)?/span>是平面的一個(gè)法向量,
所以
所以平面與平面所成的解(銳角)的大小為
解法二:
作于點(diǎn),作于點(diǎn),連接
由平面,得
又
所以平面
因此
所以即為所求的角
在中,
由∽
可得
從而
由平面平面
得
因此
所以
所以平面與平面所成角(銳角)的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一間宿舍內(nèi)住有甲乙兩人,為了保持宿舍內(nèi)的干凈整潔,他們每天通過小游戲的方式選出一人值日打掃衛(wèi)生,游戲規(guī)則如下:第1天由甲值日,隨后每天由前一天值日的人拋擲兩枚正方體骰子(點(diǎn)數(shù)為),若得到兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和小于10,則前一天值日的人繼續(xù)值日,否則當(dāng)天換另一人值日.從第2天開始,設(shè)“當(dāng)天值日的人與前一天相同”為事件.
(1)求.
(2)設(shè)表示“第天甲值日”的概率,則,其中,.
(ⅰ)求關(guān)于的表達(dá)式.
(ⅱ)這種游戲規(guī)則公平嗎?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】高鐵、網(wǎng)購(gòu)、移動(dòng)支付和共享單車被譽(yù)為中國(guó)的“新四大發(fā)明”,彰顯出中國(guó)式創(chuàng)新的強(qiáng)勁活力.某移動(dòng)支付公司從我市移動(dòng)支付用戶中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
每周移動(dòng)支付次數(shù) | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 | 總計(jì) |
男 | 10 | 8 | 7 | 3 | 2 | 15 | 45 |
女 | 5 | 4 | 6 | 4 | 6 | 30 | 55 |
總計(jì) | 15 | 12 | 13 | 7 | 8 | 45 | 100 |
(1)把每周使用移動(dòng)支付超過3次的用戶稱為“移動(dòng)支付活躍用戶”,能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為是否為“移動(dòng)支付活躍用戶”與性別有關(guān)?
(2)把每周使用移動(dòng)支付6次及6次以上的用戶稱為“移動(dòng)支付達(dá)人”,視頻率為概率,在我市所有“移動(dòng)支付達(dá)人”中,隨機(jī)抽取4名用戶.
①求抽取的4名用戶中,既有男“移動(dòng)支付達(dá)人”又有女“移動(dòng)支付達(dá)人”的概率;
②為了鼓勵(lì)男性用戶使用移動(dòng)支付,對(duì)抽出的男“移動(dòng)支付達(dá)人”每人獎(jiǎng)勵(lì)300元,記獎(jiǎng)勵(lì)總金額為X,求X的分布列及均值.
附公式及表如下:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足 .
(1)證明:當(dāng)時(shí),;
(2)證明: ();
(3)證明:為自然常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,曲線:(,為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線:.
(1)說(shuō)明是哪一種曲線,并將的方程化為極坐標(biāo)方程;
(2)若直線的方程為,設(shè)與的交點(diǎn)為,,與的交點(diǎn)為,,若的面積為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在處取得極大值,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線:(為參數(shù),),曲線:(為參數(shù)),與相切于點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)已知直線:與圓:交于,兩點(diǎn),記的面積為,的面積為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)某縣一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4噸、硝酸鹽18噸;生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸、硝酸鹽15噸.先庫(kù)存磷酸鹽10噸、硝酸鹽66噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.若生產(chǎn)1車皮甲種肥料產(chǎn)生的利潤(rùn)為10000元;生產(chǎn)1車皮乙種肥料產(chǎn)生的利潤(rùn)為5000元.那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮能產(chǎn)生最大的利潤(rùn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,為橢圓上的兩點(diǎn),滿足,其中,分別為左右焦點(diǎn).
(1)求的最小值;
(2)若,設(shè)直線的斜率為,求的值.
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