Question

6．關(guān)于x的方程sinx+cosx=cos2x（x∈[-π，π]）的所有解之和為0．

Answer 1

分析 已知等式右邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，分sinx+cosx=0與sinx+cosx≠0兩種情況，求出方程的解得到x的值，即可求出所有解之和．

解答 解：sinx+cosx=cos2x=cos²x-sin²x=（cosx-sinx）（cosx+sinx），
當(dāng)sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=0時(shí)，方程有意義，恒成立，
此時(shí)x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
∵x∈[-π，π]，
∴x=-$\frac{π}{4}$或x=$\frac{3π}{4}$；
當(dāng)sinx+cosx≠0時(shí)，可得1=cosx-sinx=-$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），即sin（x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{4}$或x-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{3π}{4}$，（k∈Z），
又x∈[-π，π]，
∴x=0或x=-$\frac{π}{2}$，
綜上，方程sinx+cosx=cos2x的解為{x|x=-$\frac{π}{2}$或x=-$\frac{π}{4}$或x=$\frac{3π}{4}$}，
則所有解之和為0，
故答案為：0

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，二倍角余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握基本關(guān)系及公式是解本題的關(guān)鍵．