Question

18．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a_n+1=2S_n+2（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為d_n的等差數(shù)列，
①在數(shù)列{d_n}中是否存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項，若不存在，說明理由；
②記T_n=$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\frac{1}{d_3}+…+\frac{1}{d_n}（n∈{N^*}）$，求滿足T_n≤$\frac{3}{4}$的n值．

Answer 1

分析 （1）通過${a_{n+1}}=2{S_n}+2（n∈{N^*}）$與${a_n}=2{S_{n-1}}+2（n∈{N^*}，n≥2）$作差可知${a_{n+1}}=3{a_n}（n∈{N^*}，n≥2）$，進而可得結(jié)論；
（2）由（1）及a_n+1=a_n+（n+2-1）d_n可知${d_n}=\frac{{4•{3^{n-1}}}}{n+1}$．①假設(shè)命題成立可知${（{d_k}）^2}={d_m}{d_p}$，利用m+p=2k可化簡為k²=mp，得出矛盾；②利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵${a_{n+1}}=2{S_n}+2（n∈{N^*}）$，
∴${a_n}=2{S_{n-1}}+2（n∈{N^*}，n≥2）$，
兩式相減：${a_{n+1}}=3{a_n}（n∈{N^*}，n≥2）$．
又∵a₂=2a₁+2，
∴a₂=2a₁+2=3a₁，解得a₁=2，
∴${a_n}=2•{3^{n-1}}$；
（2）由（1）可知${a_n}=2•{3^{n-1}}$，${a_{n+1}}=2•{3^n}$，
∵a_n+1=a_n+（n+2-1）d_n，
∴${d_n}=\frac{{4•{3^{n-1}}}}{n+1}$．
①結(jié)論：在數(shù)列{d_n}中不存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．
理由如下：
假設(shè)在數(shù)列{d_n}中存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，
則：${（{d_k}）^2}={d_m}{d_p}$，
即：${（{\frac{{4•{3^{k-1}}}}{k+1}}）^2}=\frac{{4•{3^{m-1}}}}{m+1}•\frac{{4•{3^{p-1}}}}{p+1}$，$\frac{{16•{3^{2k-2}}}}{{{{（{k+1}）}^2}}}=\frac{{16•{3^{m+p-2}}}}{{（{m+1}）•（{p+1}）}}$（*）  
∵m，k，p成等差數(shù)列，
∴m+p=2k，
∴（*）可以化簡為所以（k+1）²=（m+1）（p+1），
即：k²=mp，
故k=m=p，這與題設(shè)矛盾，
所以在數(shù)列{d_n}中不存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列；
②∵${d_n}=\frac{{4•{3^{n-1}}}}{n+1}$，
∴${T_n}=\frac{2}{{4•{3^0}}}+\frac{3}{{4•{3^1}}}+\frac{4}{{4•{3^2}}}+…+\frac{n+1}{{4•{3^{n-1}}}}$，
$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{2}{{4•3{\;}^1}}+\frac{3}{{4•{3^2}}}+\frac{4}{{4•{3^3}}}+…+\frac{n+1}{{4•{3^n}}}$，
兩式相減得：$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{2}{4•{3}^{0}}$+$\frac{1}{4•{3}^{1}}$+$\frac{1}{4•{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{4•{3}^{n-1}}$-$\frac{n+1}{4•{3}^{n}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n+1}{4•{3}^{n}}$
=$\frac{5}{8}$-$\frac{2n+5}{8•{3}^{n}}$，
∴${T_n}=\frac{15}{16}-\frac{3（2n+5）}{{16•{3^n}}}$，
∵${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{12n+24}{{16•{3^{n+1}}}}＞0$，
∴數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增，
而${T_1}=\frac{1}{2}，{T_2}=\frac{3}{4}$，
∴滿足題意的n的集合為{1，2}．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．