Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2．
（1）若函數(shù)f（x）在R上是偶函數(shù)，求a的值 
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-5，5]上的最值；
（3）若y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱軸求解即可．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，求出函數(shù)的對(duì)稱軸，然后通過求解函數(shù)f（x）在[-5，5]上的最值；
（3）利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸與求解的關(guān)系列出不等式求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+2ax+2函數(shù)f（x）在R上是偶函數(shù)，對(duì)稱軸是y軸，可得a=0．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-5，5]…（2分）
∴x=1時(shí)，f（x）的最小值為1；x=-5時(shí)，f（x）的最大值為32           …（4分）
（3）函數(shù)$f（x）=\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$圖象對(duì)稱軸為（-1，1），拋物線開口向上…（10分）
∵∴f（0）=0在區(qū)間$\frac{0+b}{1+0}=0$，∴b=0上是單調(diào)函數(shù)，∴∵$f（{\frac{1}{2}}）=\frac{2}{5}$或-a≥5…（13分）
故$\frac{{\frac{1}{2}a}}{{1+{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}}=\frac{2}{5}$的取值范圍是a≤-5或∴a=1…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，注意開口方向以及對(duì)稱軸，考查計(jì)算能力．