Question

7．二項式${（ax-\frac{{\sqrt{3}}}{6}）^3}$（a＞0）的展開式的第二項的系數(shù)為-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則$\int_{-2}^a{x^2}$dx的值為（　�。�

• A． 3或$\frac{7}{3}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． 3
• D． 3或$-\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 二項式${（ax-\frac{{\sqrt{3}}}{6}）^3}$（a＞0）的展開式的通項公式T₂=${∁}_{3}^{1}（ax）^{2}（-\frac{\sqrt{3}}{6}）$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$a²x²．由于第二項的系數(shù)為-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得$-\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a²=1，解得a，再利用微積分基本定理即可得出．

解答 解：二項式${（ax-\frac{{\sqrt{3}}}{6}）^3}$（a＞0）的展開式的通項公式T₂=${∁}_{3}^{1}（ax）^{2}（-\frac{\sqrt{3}}{6}）$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$a²x²．
∵第二項的系數(shù)為-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a²=1，a＞0，解得a=1．
當(dāng)a=1時，則$\int_{-2}^a{x^2}$dx=${∫}_{-2}^{1}{x}^{2}dx$=$\frac{{x}^{3}}{3}{|}_{-2}^{1}$=3．
故選：C．

點評 本題考查了二項式定理與微積分基本定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．