Question

5．如圖，△AB₁C₁，△C₁B₂C₂，△C₂B₃C₃是三個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且有一條邊在同一直線上，邊B₃C₃上有2個(gè)不同的點(diǎn)P₁，P₂，則$\overrightarrow{A{B_2}}•（\overrightarrow{A{P_1}}+\overrightarrow{A{P_2}}）$=36．

Answer 1

分析 根據(jù)圖形證明$\overrightarrow{{AB}_{2}}$⊥$\overrightarrow{{{B}_{3}C}_{3}}$，$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•$\overrightarrow{{{C}_{3}B}_{3}}$=0；根據(jù)平面向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算$\overrightarrow{A{B_2}}•（\overrightarrow{A{P_1}}+\overrightarrow{A{P_2}}）$即可．

解答 解：由圖可知，∠B₂AC₃=30°，又∠AC₂B₂=60°，
∴$\overrightarrow{{AB}_{2}}$⊥$\overrightarrow{{{B}_{2}C}_{2}}$，
又$\overrightarrow{{{B}_{2}C}_{2}}$∥$\overrightarrow{{{B}_{3}C}_{3}}$，
∴$\overrightarrow{{AB}_{2}}$⊥$\overrightarrow{{{B}_{3}C}_{3}}$，
∴$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•$\overrightarrow{{{C}_{3}B}_{3}}$=0；
∴$\overrightarrow{A{B_2}}•（\overrightarrow{A{P_1}}+\overrightarrow{A{P_2}}）$=$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•[（$\overrightarrow{{AC}_{3}}$+$\overrightarrow{{{C}_{3}P}_{1}}$）+（$\overrightarrow{{AC}_{3}}$+$\overrightarrow{{{C}_{3}P}_{2}}$）]
=$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•$\overrightarrow{{AC}_{3}}$+$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•m$\overrightarrow{{{C}_{3}B}_{3}}$+$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•$\overrightarrow{{AC}_{3}}$+$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•n$\overrightarrow{{{C}_{3}B}_{3}}$
=2$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•$\overrightarrow{{AC}_{3}}$
=2×2$\sqrt{3}$×6×cos30°
=36．
故答案為：36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量線性表示與數(shù)量積的運(yùn)算問題，也考查了三角形中邊角關(guān)系的運(yùn)用問題，是綜合題．